两度出任法国总理数学家:研究三体提出难倒世人猜想

两度出任法国总理数学家:研究三体提出难倒世人猜想
2019年07月11日 08:47 新浪2分快3_一分快三_官方综合

  来源:环球科学

  《三体》系列无疑是近年来国内最具影响力的科幻小说了,但你知道,曾有一位法国总理也研究过三体问题嘛?而且,他还提出了一个与三体问题密切相关的重要猜想,直到近百年后才被一位中国数学家部分解决……

  数学领域的三体问题

  科幻小说《三体》的故事背景,是距离地球4光年的半人马座α星中,一个由3颗恒星和一颗行星构成的星系。在相互的引力作用下,这3颗恒星的运行轨道极不稳定,随时可能让唯一的行星进入极寒或极热的“乱纪元”、摧毁三体文明。为了脱离这三个“太阳”复杂的引力场环境,三体人企图侵略地球,拉开了这个故事的序幕。

  而在数学中,“三体问题”同样存在。这是一个与牛顿的万有引力相关的古典数学问题:如果有三个星体(无论恒星还是行星)通过万有引力相互吸引——这就好像三个人在一起谈恋爱,情况会变得十分复杂——大多数情景下这样的三体问题不存在解析解。也就是说,虽然方程可以写出来,但任何星体的运动轨迹却解不出来。

  1885年,瑞典国王奥斯卡二世悬赏了一大笔钱,他希望科学家能证明太阳系的稳定性。这个问题其实就是所谓的N体问题,N表示星体的数目。最简单的情况是N取2,那早已经被牛顿之前的开普勒所解决;如果N取3,就是三体问题。在这个意义上,小说中的“三体”,其实是数学上的四体问题,因为三体星系中不仅有三颗“太阳”,还有三体人居住的行星。

  法国大数学家庞加莱参与了这个学术竞赛,他被誉为“最后一个既懂物理、又懂数学的百科全书式”数学家——他后来还在爱因斯坦之前研究过狭义相对论,相对论这个词就是他提出的。(所以在狭义相对论中存在“庞加莱变换”)

  庞加莱希望找出描述三体问题的“求根公式”。三体问题对应的是微分方程祖,他希望找到微分方程的通解,并且将这个解推广到N体问题。

  经过整整三年的努力,庞加莱发现这个三体问题无法被彻底解决。但庞加莱还是把自己3年来夙兴夜寐的研究成果寄到论文评审委员会,他在论文开头他沮丧地写道:“繁星是无法超越的。”

  庞加莱的论文虽然没有彻底解决三体问题,但他还是取得了重要进展——他发现了三体问题其实是一个混沌系统,而且在研究过程中他发展了微分方程的定性分析,这相当于把微分方程理论与拓扑学进行了结合。所以,他还是在1888年获得了瑞典国王提供的奖金。

  庞加莱的研究表明,三体问题中星体的运动轨道虽然解不出来,但这个轨道总体来说是禁不起微扰的,所以轨道不可以被长时间预测。这就好比天气也无法实现长期的预测,因为气象系统是混沌的。一般情景下的三体问题最后都会导致混沌,也就是说,我们无法预测某一个星体长时间的运动轨迹。

  潘勒韦猜想

  但这个事情还没完。

  与庞加莱同时代还有一个法国人也在研究三体问题,而且他的身份非常特殊。他不但是一位数学家,还曾经两度担任法国总理。这个人就是保罗·潘勒韦(Paul Painlevé,1863年-1933年)。

保罗·潘勒韦保罗·潘勒韦

  潘勒韦曾在著名的巴黎高等师范学校学习。获数学博士学位后,潘勒韦先后在里耳大学、巴黎大学等学校任教。在任教期间,他也参加了瑞典国王奥斯卡二世举办的学术比赛,研究三体问题。

  和庞加莱一样,潘勒韦也是通过微分方程研究三体问题。虽然潘勒维的学术成就没有庞加莱那么高,但也算颇有建树。1895年,他在一次讲座中提出了一个猜想,历史上称为“潘勒韦猜想”(Painlevé conjecture):在几个星体通过万有引力相互作用的情况下,可能出现这样一种情况,那就是其中某个星体有可能在有限时间内,被其他星体甩到无限远的地方去。

  潘勒韦的这个猜想指出了N体问题中的某种可能性,那么为什么一个星体可以被别的星体排挤呢?这与N体问题中复杂的引力有关。

  这些星体之间存在万有引力。表面上看,引力让星体相互吸引,但就像荡秋千一样,如果秋千的摆长是周期性变化的,秋千可能越荡越高,最后荡秋千的人会飞出来。在潘勒维猜想中,也存在类似的情况:如果某个星体的速度很快,而且在运动过程中被复杂的引力场一次次地加速,那么它就很可能被甩到无限远处。(作为数学问题,这里只考虑经典的牛顿万有引力,不考虑相对论效应:星体的速度也可以大于光速。)

  部分解决

  潘勒韦自己提出了这个猜想,但解决不了。于是,他跑去当官了。1906年,潘勒韦当选为众议员,在内阁中任教育部长和发明部长。1917年,他担任了法国总理——虽然时间很短,但这已经是数学家出任政府官员的最高职位了。而在1925年,他再次出任法国总理。这种梅开二度的总理型数学家,历史上只有他一个。

  但潘勒韦猜想却成为数学界的一个经典猜想,一直悬而未决。直到近100年后,来自中国的数学家夏志宏在美国西北大学读博期间,证明了在至少5颗星体存在的情况下,潘勒韦描述的场景是可以成立的。这相当于证明了N≥5时,“潘勒韦猜想”是正确的。他的相关论文发表在1992年的《数学年鉴》上。

夏志宏证明5体问题的“潘勒韦猜想”的论文夏志宏证明5体问题的“潘勒韦猜想”的论文

  而四体问题的潘勒韦猜想,也就是小说《三体》中的设定,至今还没有解决。

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